Алгебра 8 клас,вчитель Прокопчук В.В,

Працюємо за підручником: Алгебра 8, А.Г.Мерзляк.

Урок №48 формула коренів квадратного рівняння.

1)Завдання на карточках 

 х²  - 25 = 0;  х² + 20 = 0;

 х² -1/9=0;  3 х²  – 27=0

 4 х²  + х  = 0; х² -4х+4=0

2)Назвати коефіцієнти квадратних рівнянь:                   

а) 2 х² +3х-2=0;  б) 4-у² -3у=0; в) х²  -4=5х; г) -5х+2- 4 х² =0.

3) Скласти квадратне рівняння, якщо відомі коефіцієнти:

а	b	с
2	0	-5
-1	2	0
5	3	-2
4	-3	2

4) Які з рівнянь не мають коренів:

   а) 3 х²  =-9; б) -5 х² = -2; в) х² +121=0? 

       5)Розв’язати рівняння:

  а) 16х² + 8х + 1 = 0; б) х² – 6х + 9 = 0.

IV.    Мотивація навчальної діяльності.

Учитель. Ми  навчилися розв’язувати неповні квадратні рівняння  й повні квадратні рівняння, в яких легко можна виділити квадрат двочлена. А як же розв’язувати квадратні рівняння, в яких виділення повного квадрата ускладнене?

Формулювання проблеми: не­обхідно знайти єдиний достатньо простий алгоритм розв'язання квад­ратних рівнянь загального вигляду. Розв'язання цієї проблеми і є голов­ною метою уроку.                  

V. Вивчення нового матеріалу.

       1. Виведемо формулу коренів квадратного рівняння ах² + bх + с = 0.

Помножимо обидві частини рівняння на 4а (а ≠ 0), матимемо:

4а²х² + 4аbх 4ас = 0,

(2ах)² + 2∙2ах∙b + b² – b² + 4ас = 0,

(2ах + b)² – b² + 4ас = 0,

(2ах + b)² = b² – 4ас.

      Вираз  b² – 4ас називають дискримінантом (від латинського diskriminns – той, що розрізняє) даного рівняння і позначають буквою D. Тоді  (2ах + b)²  = D. За значенням D можна визначити кількість коренів квадратного рівняння ах² + bх + с = 0.

1. Встановимо залежність коренів рівняння від дискримінанта.

Запитання для учнів:

  – Скільки коренів може мати рівняння (2ах + b)² = D і від чого це буде залежати?

Розглядаємо випадки:

1) Якщо D > 0, то

              2ах + b =         або          2ах + b = –

              х =                                 х = .

Короткий запис:

x_1,2 =  - формула  коренів квадратного рівняння.

2)  Якщо D = 0, то 2ах + b = 0,  х =  –   – єдиний корінь.

3)  Якщо D < 0, то дане рівняння не має коренів, тому, що не існує такого значення х, для якого значення виразу  (2ах + b)²  було б від’ємним.

Користуючись  формулою коренів квадратного рівняння можна розв’язати будь-яке квадратне рівняння.

                                                                                                                                                      

 Запитання до учнів:

 - Який алгоритм «Розв’язання повних квадратних рівнянь за формулою» ? Форма запису розв’язування повних квадратних рівнянь за формулою  

Приклад. Розв’язати рівняння  2х² – 3х -2 = 0.                                 

D = b² - 4ас;  D = (−3)² − 4 2 (-2) = 9 +16 = 25>0,

  рівняння має два  корені;   

x_1,2 = ; x_1,2 = ; х₁ = 2; х₂= - .       

Формулюються висновки, які були зроблені на уроці. Коментуються теоретичні положення про формулу коренів квадратного рівняння. Виставляються оцінки.

IX.  Домашнє завдання.                                                   

• Опрацювати § 3 п.19,
• Виконати №635;639;660.
• Вивчити формулу коренів квадратного рівняння.

Урок №49 Теорема Вієта.

Мета:

навчальна: формування вмінь учнів розв'язувати завдання з застосування теореми Вієта; ознайомити учнів із теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння та для квадратного рівняння загального виду;

розвиваюча: логічне мислення, пам’ять, зосередженість, уважність, допитливість;

виховна:  самостійність, наполегливість, інтерес до математики.

Тип уроку: формування вмінь та  навичок

Обладнання: Аглебра 8 кл.: Підруч. для загальноосвіт. навч. закл./ О.С.Істер. – Києв : Генеза, 2016. – 272 с.

Хід уроку:

1. Актуалізація опорних знань

1. Перетворіть на зведене рівняння квадратне рівняння:

а) ;    б) ;    в) .

2. Назвіть коефіцієнти a, b, c у квадратному рівнянні:

а) ;      б) ;      в) .

(а)3,6,-1; б)3, -7; в)2,5)

3. Розв’яжіть квадратне рівняння:

а) ;      б) ;      в) ;      г) .

(а)0,4; б)0,10; в)0,-7; г)-1/4,1/4)

4. Повідомлення теми і мети уроку

Сьогодні на уроці ми сформуємо вмінь учнів розв'язувати завдання з застосування теореми Вієта. Ознайомимося із теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння та для квадратного рівняння загального виду.

5. Мотивація навчальної діяльності (2-4)

Вієт Франсуа (1540—1603) — французький математик і юрист народився в м. Фонтеней. Здобувши юридичну освіту, спочатку був ад¬вокатом, а згодом став радником французького короля Генріха IV. Незважаючи на велику службову завантаженість, Вієт з великим інтересом вивчав математику, присвячуючи цьому свій вільний час. Вієта по праву називають «батьком алгебри», бо завдяки його роботам вона стала наукою про алгебраїчні рівняння, в основу якої покладено символічні позначення. 

Заслугою Вієта було те, що він першим почав позначати буквами не лише невідомі, а й дані величини, тобто коефіцієнти рівнянь. Це дало можливість записувати властивості рівнянь і їх коренів загальними формулами.

Відомі величини та коефіцієнти Вієт позначав приголосними буквами b, с, d, а невідомі голосними а, о, е, ...  У житті Вієта був цікавий факт. Під час війни Франції з Іспанією іспанці використовували для свого листування складний шифр, який французи ніяк не могли розгадати. Король Франції Генріх IV звернувся до Вієта з пропозицією роз-шифрувати іспанські листи. Після наполегливої роботи йому вдалося це зробити. Протягом двох років французи перехоплювали і прочитували таємні листи до іспанського двору. Це давало великі переваги французькому командуванню. Армія Франції завдала ряд поразок армії Іспанії. Іспанці зрозуміли причину своїх невдач і дізналися, хто розшифрував їхній тайнопис. Іспанські інквізитори, які відзначалися особливою жорстокістю, вважали, що людині не під силу розкрити таємницю їхнього шифру, і звинуватили Ф. Вієта в спілкуванні з нечистою силою. Ф. Вієта було засуджено до спалення. На щастя, Генріх IV не видав його інквізиції.

6. Вивчення нового матеріалу (6-8)

Теорема Вієта. Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Для зведеного квадратного рівняння:

Якщо х² + рх + q = 0 має корені х₁ і х₂ (D > 0), то х₁ + х₂ = -р; х₁ · х₂ = q

Для квадратних рівнянь загального вигляду:

Якщо ах² +bх + с =0 має корені х, і х₂ (D >0), то ;

Обернена теорема:

Якщо числа т і п такі, що m + n = -p, mn = q, то т і п — корені рівняння х² + pх + q = 0

Застосування:

розв'язування зведених квадратних рівнянь «підбором»?

х² – 2х – 3 = 0:

х₁ + х₂ = 2, х₁ · х₂ = -3  х₁ = 3, х₂ = -1

7. Формування вмінь та  навичок

835. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння:

1) 2х²+4х-5=0                              3) 3х²-6х-8=0

2) -х²+5х-6=0                              4) 4х²-7х=0

Відповідь: 1) х₁ + х₂=-2, х₁ · х₂=2,5; 2) х₁ + х₂=5, х₁ · х₂=-6; 3) х₁ + х₂=-2, х₁ · х₂=-8:3; 4) х₁ + х₂=7:4, х₁ · х₂=0.

837. Розв’язіть квадратне рівняння за формулою коренів та перевірте для нього істиннісь теореми Вієта:

1) х²+3х-28=0                              2) 2х²-13х+15=0

Відповідь: 1) х₁ + х₂=-3, х₁ · х₂=-28; 2) х₁ + х₂=6,5; х₁ · х₂=7,5.

842. Доведіть, що рівняння 12х²+17х-389=0 не може мати коренів, які є числами одного знака.

Відповідь: х₁ + х₂=- , х₁ · х₂=- .

845. Один з коренів рівняння х²+6х+q=0 дорівнює -3,5.

Знайдіть q і другий корінь.

Відповідь: q=8,75; х₂=-2,5.

849. х₁ і х₂ – корені рівняння х² + 4х – 3 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу:

1) ;      2) ;       3) ;

4) ;      5) ;           6) .

Відповідь: 1) ; 2) 12; 3) 22; 4) - ; 5)2 ; 6) 33.

V. Підсумок уроку

В якому з випадків правильно виконано дію?

1) Сума коренів рівняння 5х² – 9х – 2 = 0 дорівнює:

а) -9; б) 1,8; г) -1,8; д) ;

2) добуток коренів рівняння 5х² + 3x – 2 = 0 дорівнює:

 а) -2; б) 2; в) 0,4; г) інша відповідь.

VI. Домашнє завдання. Оцінювання та мотивація

Опрацювати § 3 п.20, №685;698;703.

Урок №50 Розвязування вправ.
Виконати завдання №5(1-12),стор.165.Повторити §3.

Урок №51 Контрольна робота.

№1 .Розв’язати рівняння :(3б) 1) 5х2 – 10 = 0; 2) х2 + 4х = 0; 3) 3х2 + 7х + 2 = 0; 4) х2 – 8х + 16 = 0; 5) х2 + х + 3 = 0; 6)  3х2 – х - 5 = 0.       №2 Розв’язати рівняння:(3б) 1) (2х - 1)(2х + 1) – (х - 3)(х + 1) = 18; 2) 3х2 -5 х + 6 = 0; №3 (2б) Число -6 є корнем квадратного рівняння 5 х2 + bх – 6 = 0. Знайти другий корінь рівняння і значення  b. №4 (2б)  При яких значеннях а рівняння  х2 –8ах +4 = 0 має єдиний корінь? №5(2б)  Відомо, що корені  квадратного рівняння   х2 – 4х + р = 0 задовольняють умову 2х1 + х2 = 1. Знайти корені рівняння та значення р.

Контрольна робота з теми «Квадратні рівняння. Формула коренів квадратного рівняння. Теорема Вієта» Варіант 1 №1 .Розв’язати рівняння :(3б) 1) 5х2 – 10 = 0; 2) х2 + 4х = 0; 3) 3х2 + 7х + 2 = 0; 4) х2 – 8х + 16 = 0; 5) х2 + х + 3 = 0; 6) 3х2 – х - 5 = 0;       №2 Розв’язати рівняння:(3б) 1) (2х - 1)(2х + 1) – (х - 3)(х + 1) = 18; 2) 3х2 -5 х + 6 = 0; №3 (2б) Число -6 є корнем квадратного рівняння 5 х2 + bх – 6 = 0. Знайти другий корінь рівняння і значення  b. №4 (2б)  При яких значеннях а рівняння  х2 –8ах +4 = 0 має єдиний корінь? №5(2б)  Відомо, що корені  квадратного рівняння   х2 – 4х + р = 0 задовольняють умову 2х1 + х2 = 1. Знайти корені рівняння та значення р. Урок №52 Квадратний тричлен та його корені.Розкладання квадратного тричлена на множники. Тема. Квадратний тричлен та його корені. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники Мета: домогтися закріплення учнями означення квадратного три­члена та його коренів, а також формули розкладання квадратного тричлена на лінійні множники; вдосконалити вміння відтворювати вивчені означення і формули та використовувати їх для розв'язування завдань на знаходження коренів квадратного тричлена та розкладання квадратного тричлена на лінійні множники. Тип уроку: застосування знань та вмінь. Хід уроку Математичний диктант Квадратний тричлен Варіант 1 Варіант 2 1. Квадратний тричлен -2х2 + ах + с має корені 12 і - 31. Розкладіть цей тричлен на множники 1. Квадратний тричлен -х2 – ах – с має корені - 63 і 2. Розкладіть цей тричлен на множники 2. Деякий квадратний тричлен пода­ли у вигляді добутку 4(х + 8)(х – 19). Назвіть корені цього тричлена та його перший (старший) коефіцієнт 2. Квадратний тричлен подали у вигляді добутку 3(х – 5)(х + 9). Назвіть корені цього тричлена та його перший (старший) коефіцієнт 3. Корені квадратного тричлена дорівнюють – 8 і 0,5, а старший коефіцієнт – 3. Запишіть цей тричлен у вигляді добутку 3. Корені квадратного тричлена дорівнюють – 0,3 і 7, а старший коефіцієнт – 5. Запишіть цей тричлен у вигляді добутку 4. Розкладіть на множники тричлен: 2х2 – 3х + 1 3х2 – 2х – 1 III. Формулювання мети і завдань уроку Вчитель спонукає учнів до систематизації знань з приводу того, в яких ситуаціях (завданнях) на уроках алгебри виконувалось розкла­дання многочленів на множники. Аналіз відповідей наводить на думку про можливість використання вивченої на попередньому уроці форму­ли (розкладання квадратного тричлена на лінійні множники) в інших (окрім розглянутих на попередньому уроці) ситуаціях. Вивчення сфери можливого застосування формули та вдосконалення вмінь її викорис­тання є основною метою уроку. IV. Актуалізація опорних знань та вмінь @ З метою успішного сприйняття учнями навчального матеріалу уроку слід активізувати такі знання і вміння учнів: виконання арифметичних дій з раціональними числами; виконання ариф­метичних дій з раціональними виразами (особливо перетво­рення раціональних дробових виразів); застосування різних способів та прийомів розв'язання квадратних рівнянь різних видів; формули розкладання квадратного тричлена на лінійні множники. Виконання усних вправ Розкладіть на множники многочлен: а) 2х2 – 18; б) 4х2 + 4х + 1; в) 4х3 – х2; г) х2 – 5х + 6. 2.Знайдіть корені квадратного тричлена: а) х2 – 5х + 6; б) х2 – 5х; в) х2 – 6; г) 3х2 – 4х + 1. 3.Заповніть пропуски: а) х2 + 3х + 2 = (х – ...)(х + 1); б) 2х2 – 3х + 1 = 2(х – 1)(х – ...). V. Застосування знань План вивчення нового матеріалу Схема застосування формули розкладання квадратного тричлена на лінійні множники (разом з іншими способами розкладання многоч­лена на множники під час скорочення раціональних дробів). Схема застосування формули розкладання квадратного тричлена на лінійні множники в ході розв'язування завдань на розкладання на множники цілих виразів, що мають вигляд аР2(х) + bР(х) + с, де P(х) — многочлен від однієї змінної. @ У вивченні навчального матеріалу уроку акцент робиться на тому, що засвоєна формула є однією з кількох способів розкла­дання виразів на множники, а тому сфера її застосування така сама, як і сфера застосування інших вивчених раніше способів розкладання многочленів на множники. VI. Формування вмінь Виконання усних вправ Розкладіть на множники: х2 – 81; а2 + 10а + 25; а2 – 10а + 9; 4а – 12; 4а3 – 16а. 2. На повторення: завдання на виділення повного квадрата (двочлена). @ Перед розв'язуванням письмових завдань на розкладання ви­разів вищих степенів на множники доречно буде ознайомити учнів із прийомом, який на наступному уроці вони повинні свідомо використовувати, розв'язуючи рівняння, що зводяться до квадратних (у тому числі й біквадратних рівнянь), — прийом заміни змінних. Формування вмінь використовувати цей прий­ом допоможе учням швидше опанувати способи розв'язання рівнянь, що зводяться до квадратних, на наступному уроці. VIII. Домашнє завдання Вивчити схеми розв'язання завдань на застосування формули роз­кладання квадратного тричлена на лінійні множники, засвоєні на уроці. Розв'язати вправи на застосування знань, умінь, які учні здобули впродовж двох останніх уроків. На повторення: способи розв'язання і формули коренів квадратних рівнянь (різних видів). Опрацювати § 4 п.21, №729;733;736. Бажаю успіхів!!!